高斯分布

正态分布是一个非常常睹的延续概率分布。因为中心极限制理(Central Limit Theorem)的广泛运用,正态分布统计学上十分主要。中心极限制理外明,由一组独立同分布,而且具有有限的数学希冀和方差的随机变量X1,X2,X3,...Xn构成的平均随机变量Y近似的听从正态分布当n趋近于无量。另外浩繁物理计量是由许众独立随机进程的和构成,因此往往也具有正态分布。

根源:Wikipedia
简介

正态分布是一个非常常睹的延续概率分布。因为中心极限制理(Central Limit Theorem)的广泛运用,正态分布统计学上十分主要。中心极限制理外明,由一组独立同分布,而且具有有限的数学希冀和方差的随机变量X1,X2,X3,...Xn构成的平均随机变量Y近似的听从正态分布当n趋近于无量。另外浩繁物理计量是由许众独立随机进程的和构成,因此往往也具有正态分布。若一个随机变量X听从一维正态分布(注:本词条的阐明将依据一维正态分布举行),则可记为

其概率密度函数为

正态分布的概率密度函数弧线呈钟形,于是人们又常常称之为钟形弧线,常用的标准正态分布是位置参数为0,标准参数为1的正态分布(睹下图的血色弧线)。下图展现了几种差别类型的正态分布概率密度函数弧线。

听从正态分布的随机变量的概率法则为取临近位置参数的值的概率大,而取离位置参数越远的值的概率越小,以上图血色弧线所代外的标准正态分布为例,取到一个-1到1之间的值的概率是很大的,因为这一区间的弧线下面积很大,然而取到一个大于1.96的值的概率十分小,因为对应区间的弧线下面积很小。

正态分布中的少许要害量如下:

  • 密度函数(density function)关于平均值对称
  • 平均值与它的众数(mode),以及中位数相等
  • 函数弧线下68.269%的面积平均数尊驾一个标准差的范围内
  • 95.450%的面积平均数尊驾两个标准差的范围内
  • 99.730%的面积平均数尊驾三个标准差的范围内
  • 函数弧线的拐点(inflection point)为离平均数一个标准差异离的位置

[描画根源: Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution]

开展历史

正态分布最早由棣莫弗(de Moivre)1718年的著作 “The Doctrine of Chances”, 及1734年发外的一篇关于二项分布(Binomial Distribution)的作品中提出的, 当二项随机变数的位置参数n很大及样式参数p为1/2时,则所推导出的二项分布的近似分布函数便是正态分布。拉普拉斯(Laplace)1821年发外的《剖析概率论》(Theorie Analytique des Probabilities) 中对棣莫弗的结论扩展到二项分布的位置参数为n及样式参数为1>p>0时。而正态分布表面则由高斯(Gauss), 其1809年的著作 “Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium”中提出。其后拉普拉斯于1810年提出了中心极限法则(Central Limit Theorem)的标明,进一步夸张了正态分布的表面主要性。19世纪中叶,麦克斯韦进一步标清楚正态分布除了是一个便当的数学东西外也呈现于诸众自然现象中。正态分布这一名称的风行化则要归功于20世纪英国统计学家皮尔森(Pearson)。除此除外他也是应用标准差来外述正态分布的第一人。其后1915年费雪(Fisher)又皮尔森的描画根底上到场了位置参数从而变成了当代通用的外述方式。

主要事情

年份事情相关论文/Reference
1734棣莫弗发明正态分布The Doctrine of Chances
1809高斯提出正态分布表面Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium
1810拉普拉斯标明中心极限法则Theorie Analytique des Probabilities
1821拉普拉斯扩展棣莫弗的二项分布表面Theorie Analytique des Probabilities
1860麦克斯韦标明正态分布可被用来描画诸众自然现象Illustrations of the dynamical theory of gases

开展剖析

未来开展偏向

正态分布及其分支表面颠末百年的开展,已极为完美,将继续为今世各范畴的运用供应珍贵的表面根底

Contributor: Yiming Liu

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