张量

张量是一个可用来外示少许矢量、标量和其他张量之间的线性联系的众线性函数,这些线性联系的基本例子有内积、外积、线性映照以及笛卡儿积。其坐标 维空间内,有 个分量的一种量,此中每个分量都是坐标的函数,而坐标变换时,这些分量也按照某些规矩作线性变换。称为该张量的秩或阶(与矩阵的秩和阶均无联系)。 数学里,张量是一种几何实体,或者说广义上的“数目”。张量看法包罗标量、矢量和线性算子。张量可以用坐标系统来外达,记作标量的数组,但它是定义为“不依赖于参照系的挑选的”。张量物理和工程学中很主要。比如扩散张量成像中,外达器官关于水的各个偏向的微分透性的张量可以用来发生大脑的扫描图。工程上最主要的例子可以便是应力张量和应变张量了,它们都是二阶张量,关于一般线性材料他们之间的联系由一个四阶弹性张量来决议。

根源:维基百科
简介

张量是一个可用来外示少许矢量、标量和其他张量之间的线性联系的众线性函数,这些线性联系的基本例子有内积、外积、线性映照以及笛卡儿积。其坐标n维空间内,有$n^{r}$个分量的一种量,此中每个分量都是坐标的函数,而坐标变换时,这些分量也按照某些规矩作线性变换。r称为该张量的秩或阶(与矩阵的秩和阶均无联系)。

同构的原理下,第零阶张量(r=0)为标量,第一阶张量(r=1)为矢量, 第二阶张量(r=3)则成为矩阵。因为变换方法的差别,张量分成协变张量(目标下者)、逆变张量(目标上者)、混淆张量(目标上和目标下两者都有)三类。

数学里,张量是一种几何实体,或者说广义上的“数目”。张量看法包罗标量、矢量和线性算子。张量可以用坐标系统来外达,记作标量的数组,但它是定义为“不依赖于参照系的挑选的”。张量物理和工程学中很主要。比如扩散张量成像中,外达器官关于水的各个偏向的微分透性的张量可以用来发生大脑的扫描图。工程上最主要的例子可以便是应力张量和应变张量了,它们都是二阶张量,关于一般线性材料他们之间的联系由一个四阶弹性张量来决议。

虽然张量可以用分量的众维数组来外示,张量表面保管的原理于进一步阐明把一个数目称为张量的涵义,而不光仅是说它需求必定命量的有目标索引的分量。特别是,坐标转换时,张量的分量值恪守必定的变换法则。张量的笼统表面是线性代数分支,现叫做众重线性代数。

一个(m,n)型的张量被定义为一个众重线性映照(multilinear map)

此中是矢量空间,是对应的对偶空间。

有两种定义张量的方法:

一般定义张量的物理学或古板数学方法,是把张量看成一个众维数组,当变换坐标或变换基底时,其分量会按照必定变换的规矩,这些规矩有两种:即协变或逆变转换。

一般当代数学中的方法,是把张量定义成某个矢量空间或其对偶空间上的众重线性映照,这矢量空间需求引入基底之前不固定任何坐标系统。比如协变矢量,可以描画为1-方式,或者举措逆变矢量的对偶空间的元素。

例子1:

思索水中的船,我们要描画它对受力的反响。力是一个矢量,而船的反响是一个加速率,它也是一个矢量。一般加速率不是和受力的偏向相同,因为船体的特定样式。可是,这个力和加速之间的联系实行上是线性的。如许一个联系可以用一个(1,1)类型(也便是说,它把一个矢量变成另一个矢量)的张量外示。这个张量可以用矩阵外示,当它乘以一个矢量时就取得另一个举措结果。坐标系改动的时分,外示一个矢量的数字会改动,同样,外示这个张量的矩阵中的数字也会改动。

例子2:

柯西应力张量

[描画根源:Wikipedia; URL:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B5%E9%87%8F]

开展历史

描画

“张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿1846年引入,但他把这个词用于指代现称为模的对象。该词的当代原理是沃尔德马尔·福格特1899年开端运用的。

这个看法由格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗1890年《绝对微分几何》的题目系愧展出来,跟着1900年列维-奇维塔的经典作品《绝对微分》(意大利文,随后出书了其他译本)的出书而为许大都学家所知。跟着1915年尊驾爱因斯坦的广义相对论的引入,张量微积分取得了更广泛的供认。广义相对论完备由张量言语外述,爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了许众张量言语(实是Marcel Grossman,他是爱因斯坦苏黎世联邦理工学院的同窗,一个几何学家,也是爱因斯坦张量言语方面的良师益友 - 参看Abraham Pais所著《天主是微妙的(Subtle is the Lord)》),并学得很艰辛。但张量也用于其它范畴,比如延续力学,譬如应变张量。

开展到本日,有许众现有的深度进修系统都是基于张量代数(tensor algebra)而计划的,张量与新的板滞进修东西(如 TensorFlow)好坏常热门的话题,关于那些寻求运用和进修板滞进修的人来说更是云云。人们通过张量上写下一套运算的方式(pattern)并依据这些方式编写顺序,然后用TensorFlow等东西主动转换成可高效施行的顺序。

主要事情

年份

事情

相关论文/Reference

1890

tensor的当代原理开端被运用

Voigt, W. (1898). Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung. Von Veit.

1990

张量看法开端为众大都学家所知

Ricci, M. M. G., & Levi-Civita, T. (1900). Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications. Mathematische Annalen, 54(1-2), 125-201.

1916

广义相对论的引入使得张量微积分取得更广泛的供认

Einstein, A. (1916). Die grundlage der allgemeinen relativittstheorie. Annalen der Physik, 354(7), 769-822.

2005

将张量举措输出,计划了一种监视式张量进修的框架

Tao, D., Li, X., Hu, W., Maybank, S., & Wu, X. (2005, November). Supervised tensor learning. In Data Mining, Fifth IEEE International Conference on (pp. 8-pp). IEEE.

2013

提出一种基于张量的深度堆叠收集构造

Hutchinson, B., Deng, L., & Yu, D. (2013). Tensor deep stacking networks. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 35(8), 1944-1957.

2016

先容了一种基于张量的盘算系统-TensorFlow

Abadi, M., Barham, P., Chen, J., Chen, Z., Davis, A., Dean, J., ... & Kudlur, M. (2016, November). TensorFlow: A System for Large-Scale Machine Learning. In OSDI (Vol. 16, pp. 265-283).

开展剖析

瓶颈

将张量看法,张量剖析有用运用到板滞进修中

未来开展偏向

应用张量来存储数据,从而运用到板滞进修中,比如TensorFlow

Contributor: Yueqin Li

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